МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МАНИПУЛЯТОРОВ

Автор gordienko, Четверг, апреля 12, 2018, 06:44:23

« предыдущая тема - следующая тема »
Вниз

gordienko

Четверг, апреля 12, 2018, 06:44:23 Последнее редактирование: Среда, апреля 18, 2018, 04:08:24 от gordienko
Исполнители: Гордиенко А.К. и Ткачева А. А., 641-об, энергетический факультет
Руководитель: Русинов В.Л., старший преподаватель
Амурский Государственный Университет
Рассмотрим математическое описание роботов с важнейшей их части - манипуляционных исполнительных устройств, т.е. манипуляторов. На рис. 1. и 2. показаны типовые кинематические схемы манипуляторов с минимальным числом степеней подвижности, равным трем. Реальные манипуляторы для обеспечения большей маневренности имеют обычно комбинированные системы координат и большее число степеней подвижности. на рис 3.-7. показано устройство манипуляторов реальных роботов с различными кинематическими схемами.

Рис. 1 Кинематическая схема трехзвенного шарнирного манипулятора: Р- рабочий орган, q1,q2,q3- переносные степени подвижности, q4,q5,q6.

Рис. 2. Кинематическая схема манипуляторов: а-сферическая, б-цилиндрическая, в-прямоугольная.

Рис. 3. Общий вид промышленного робота GPR с прямоугольной системой координат

Рис. 4. Общий вид промышленного робота Faber C 5000 с цилиндрической системой координат

Рис. 5. Общий вид промышленного робота Unimate 4000 со сферической системой координат

Рис. 6. Общий вид промышленного робота S-Model 6000 с манипулятором с угловой системой координат

Рис. 7. Общий вид промышленного робота SR-1053H с угловой системой координат, работающей в горизонтальной плоскости
   В целом механическая система манипулятора как объект управления характеризуется: типом и числом переносных и ориентирующих рабочий орган степеней подвижности (переносные могут быть поступательными и вращательными, ориентирующие- вращательные);
типом и размером рабочей зоны, в рамках которой действует орган манипулятора.
   Входные переменные механической системы манипулятора- это усилия Qg (Qg1, Qg2,…,Qgn) от двигателей Д, действующие по n степеням подвижности, а выходные x- перемещения и ориентация рабочего органа, а также усилия, с которым он воздействует на объект внешней среды. Наибольшее число степеней подвижности рабочего органа m равно шести- три координаты, определяющие положение его центра в пространстве и три угла ориентации. Кроме координат рабочего органа могут, представлять интерес координаты x (x1,x2,…,xn) промежуточных звеньев, определяющие его текущую конфигурацию. Координаты x определяются в системе координат, неподвижной относительно его основания (см. рис. 1), и называются абсолютными (опорными, инерционными). Относительное положение соседних звеньев манипулятора соответственно определяется относительными (обобщенными) координатами q (q1,q2,…,qn), где n- число степеней подвижности манипулятора.
   Математическое описание механической системы манипулятора связывает указанные выше его переменные xi, Qi  со входными Qgi. В свою очередь абсолютные координаты xi определяются относительным положением всех звеньев манипулятора, т.е. относительными координатами q (q1,q2,…,qn).
       В целом механическая система манипулятора описывается системой двух следующих уравнений:
       (1)
       Здесь первое уравнение- уравнение кинематики манипулятора, выражающее абсолютные координаты его звеньев x через относительные координаты q, а второе- уравнение динамики для  q (q1,q2,…,qn), где Qg (Qg1, Qg2,…,Qgn)- усилия двигателей, действующие по соответствующим координатам звеньев манипулятора q, QB(QB1,QB2,…,QBn)- возмущающие и противодействующие усилия, AM- оператор механической системы манипулятора. Уравнения для  усилий, с которыми манипулятор взаимодействует с объектами внешней среды, будут рассмотрены ниже в конце этого пункта.
Рассмотрим уравнение (1) последовательно. Уравнение x=f(q) представляет собой выражение для пересчета координат, которое выводится по правилам аналитической геометрии. Пусть требуется найти это выражение для конца манипулятора, т.е. для абсолютных координат его рабочего органа xp(xp1,xp2,…,xp6). Введем на каждом звене свою систему прямоугольных координат, в которой происходит перемещение последующего звена при изменении его относительной координаты qI. Если вывести выражение для координат рабочего органа в такой системе координат предыдущего звена. затем аналогично выразить координаты рабочего органа, пересчитанные в систему координат предыдущего (n-1) звена через координаты предшествующего ему (n-2) звена, то действуя таким же образом, дойдем до основания манипулятора, с которым связана система абсолютных координат x. В результате получим искомое выражение абсолютных координат рабочего органа xp(xp1,xp2,…,xp6) через относительные координаты всех звеньев q (q1,q2,…,qn).
(рис.8)
       Напомним методику такого пересчета с применением матричного исчисления (рис. 8). Пересчет координат точки p из системы (O', x1',x'2,x'3) в систему (O,x1,x2,x3) описывается векторно-матричным уравнением
(2)
или
(3)
где r=r(x1,x2,x3); r'=r'(x'1,x'2,x'3);

ask=cos(is,I'k); s,k=1,2,3;
is,ik-орты двух рассматриваемых систем координат.
Для матрицы A справедливы равенства
(4)
где индекс T означает операцию транспонирования матрицы.
Если звенья манипулятора имеют одну степень подвижности друг относительно друга, например, поворот на угол φ, то
(5)
Если осуществляется только параллельное смещение при поступательном движении звена, уравнение (2) принимает вид
(6)
Система уравнений (2), составленных для всех подвижных звеньев манипулятора, дает искомое описание кинематики.
Иногда для решения рассматриваемой задачи пересчета координат используют так называемые однородные координаты путем введения векторов четвертого порядка
r(x1,x2,x3,1) и r'(x'1,x'2,x'3,1'), связанных матрицей
(7)
т.е.
(8).
Из (7) следует
(9)
Соответственно r'=B-1*r,
(10)
где компоненты вектора A'n есть проекции вектора n на ось системы координат (O', x1',x'2,x'3). Таким образом, умножив вектор координат r' на матрицу В, получим известное выражение (2) для r через A и n. Удобство применения однородных координат состоит в том, что поворот и смещение системы координат осуществляются с помощью одной операции умножение на матрицу В. Соответственно окончательное уравнение пересчета координат рабочего органа в систему абсолютных координат, связанных с основанием манипулятора, согласно уравнению (6) будет иметь вид
(11).
где
а r1 и rn-соответственно векторы рабочего органа в системе координат относительно первого звена манипулятора, т.е. его основания, и последнего звена, т.е. рабочего органа. Уравнение (11) представляет собой уравнение кинематики манипулятора x=f(q) в векторной форме. Аналогично осуществляется вывод выражений через относительные координаты q для углов ориентации рабочего органа в абсолютной системе координат.
   Необходимо отметить, что при его решении уравнения кинематики должны быть учтены различные конструктивные и прочие ограничения относительных перемещений звеньев qi.
   Перейдем к рассмотрению второго уравнения системы (1)-уравнения динамики q=Am(Qg,QB), которое связывает относительные координаты звеньев qi с действующими на систему движущими Qgi и противодействующими QBi силами. В зависимости от решаемых задач это уравнение может быть получено в различной форме из числа известных в теоретической механике-в форме уравнений Ньютона, Гаусса, Деламбера, Лагранжа и их модификаций. Рассмотрим вывод уравнения динамики механической системы манипулятора с помощью уравнения Лагранжа второго рода, поскольку оно наиболее удобно для исследования динамики манипулятора.
   Для звена манипулятора i уравнение Лагранжа второго рода в общем виде записывается следующим образом:
(12)
Здесь L=К-П-функция Лагранжа, где К и П- соответственно кинетическая и потенциальная энергия звена; Qi=Qgi-QBi-результирующая сила приведенная к выходу привода звена.
   Уравнение (12) можно представить в следующей форме:
(13)
   Первый член уравнения (13) можно более кратко записать в матрично-векторной форме:
(14)
   Где A(q)-симметричная матрица размерности n×n, описывающая инерционные свойства системы; b(q,q)- вектор скоростных сил размерности n; c(q)-вектор статических сил размерности n. Физический смысл членов уравнения (14) очевиден и структура уравнения не зависит от метода его вывода.
   Рассмотрим в качестве примера уравнение динамики трехзвенного манипулятора с цилиндрической системой координат (см. рис. 2,б). Кинетическая и потенциальная энергии манипулятора соответственно равны:

   где m-масса рабочего органа с полезным грузом; mz- масса вертикальной колонны, движущаяся по координате z; mr- масса горизонтальной стрелы, движущаяся по координате r; l- длина стрелы; Jf- момент инерции массы колонны mz, приведенный к оси φ; J'f- момент инерции частей колонны, участвующих только в угловом движении, приведенный к оси φ, g-ускорение силы тяжести.
   Выражение для кинетической энергии соответствует компоновке манипулятора, при которой при среднем положении стрелы она выступает на одинаковую величину, равную l/2 в обе стороны от вертикальной оси колонны.
   Обозначив q1= φ, q2=z,q3=r и подставив приведенные выше выражения для К и П в (12), получим уравнение в векторно-матричной форме
(15)
Здесь

M¬ φ- момент, действующий по координате φ; Fz,Fr-усилия, действующие соответственно по координатам z и r. (В скобках указаны координаты, которые входят в выражения для данного коэффициента).
Соответственно для уравнения (14):


Вектор b φ-описывает кореолисову силу, вектор br-центробежную, а вектор c-силу тяжести.
   Уравнение (15) можно представить системой следующих трех уравнений:
(16)
   На рис.9 показана соответствующая структурная схема, где наглядно представлены, в частности, и выявленные взаимовлияния движений по отдельным степеням подвижности.

Рис.9. Структурная схема механической системы трехзвенного манипулятора по рис. 2, б.
Эти нелинейные уравнения можно линеаризовать разложением нелинейных членов в ряд Тейлора с отбрасыванием членов ряда выше первой степени малости. получим справедливую для малых перемещений систему линейных уравнений:
(17)
   Здесь p-символ дифференцирования по времени, а a'φ0; b'φ, b''φ,b'''φ,b'r,b''r-коэффициенты разложения в ряд Тейлора функций aφ, bφ и br при q=q0 и Q=Q0; индексом "0" отмечены значения переменных, соответствующих статическому режиму, относительно которого берутся их отклонения.
   Из уравнения динамики (14) для относительных координат q можно получить уравнение кинематики x=f(q).
   Для этого дважды продифференцируем последнее выражение, чтобы перейти в нем к , входящему в уравнение (14):

где матрица Якоби с элементами , где j=1,2,…,m; i=1,2,…,n.
,
Здесь D(q,q)=J(q)q- вектор столбец с элементами

   Подставив выражение для q в уравнение (14) или, наоборот, подставив сюда выражение для из уравнения (14), получим следующее уравнение для x:
(18)
Основной интерес представляет это уравнение для выходных переменных манипулятора- для координат его рабочего органа xp. Заметим, что при решении уравнения (18), когда число степеней подвижности манипулятора числа степеней подвижности его рабочего органа n больше m, возникает неоднозначность в связи с избыточностью степеней подвижности, т.е. с неоднозначностью зависимости q=f-1(x) и соответственно J-1¬(q). Для ее преодоления обычно вводят какие-нибудь полезные дополнительные условия по числу избыточных степеней подвижности.
Выведем уравнения для усилий, с которыми манипулятор взаимодействует с объектами внешней среды. Здесь возможны два варианта. Первый- когда внешняя среда воздействует на манипулятор, оказывая его звеньям определенное сопротивление, сила которого изменяется независимо или в функции от перемещения манипулятора. В этом случае используется уравнение динамики манипулятора для относительных переменных (14) с подстановкой в него указанных сил, пересчитанных на эти координаты. Получаем уравнение
(19)
Здесь Q=Qg-QB1, где QB1- внутренние возмущающие силы, Qвнеш-внешние возмущающие силы, действующие со стороны внешней среды, JT(q)-транспонированная матрица Якоби, с помощью которой осуществляется пересчет Qвнеш в систему относительных координат для определенного звена манипулятора с m степенями подвижности. Выражение JT(q)Qвнеш получается из баланса мощностей Qвнешx=QB2*q, где Q¬B2-действующие на звенья в системе относительных координат силы, вызванные силой Qвнеш.
   Второй вариант-это когда сам манипулятор рабочим органом осуществляет силовое воздействие на внешнюю среду по одной или нескольким своим координатам. В этом случае необходимо пользоваться уравнением динамики для абсолютных координат, в которых осуществляется взаимодействие с внешней средой. Оно получается из уравнения (18):
(20)
   где Qp- выделенные из вектора Q создаваемые приводами усилия на рабочем органе, действующие по l<=m координатам, по которым осуществляется указанное силовое воздействие на среду. Для остальных (m-l) координат уравнение динамики остается прежним: (14) или (18).
   В целом согласно рассмотренным уравнениям механической системы манипулятора он как объект управления представляет собой весьма сложный динамический объект- многомерный со взаимосвязанными переменными, нелинейный и нестационарный. Выходными переменными этого объекта являются шесть координат рабочего органа- три координаты центра и три угла его ориентации и действующие по этим координатам силы, с которыми рабочий орган взаимодействует с объектами внешней среды. Из них управляемыми переменными могут быть как координаты рабочего органа, так и действующие по их направлениям усилия, но общим числом до шести переменных. Например, при выполнении технологической операции нанесения покрытия с помощью пульверизатора требуется управление всеми шестью координатами. Операция снятия шероховатостей и заусенец с поверхностей требует наряду с управлением координатами для осуществления сканирования рабочим инструментом по этой поверхности еще управления силой, направленной по нормали к ней.
   Сегодня в реальных системах управления манипуляторами управление координатами рабочего органа осуществляется, как правило, не измерением этих выходных координат xp с охватом управляемого объекта обратной связью по xp а по промежуточным переменным в виде относительных координат qi. Такое решение объясняется сложностью измерения абсолютных координат рабочего органа. Однако в результате точность позиционирования рабочего органа манипулятора зависит от точности и стабильности датчиков координат qi, а также от стабильности зависимости xp от qi. В результате требования к точности датчиков qi, оказываются в несколько раз выше требуемой точности управления xp.

ran

Сколько не рассматривал, математического описания так и не увидел.

knoppix

на рис 1.4-1.8 показано устройство манипуляторов реальных роботов с различными кинематическими схемами.
У меня вопрос по рисункам 1.4-1.8, можете подробнее рассказать в каком роботе какая кинематическая схема использована?
Амурский Государственный Университет  - 2010 - Специалист
Harbin Institute of Technology - 2016 - M.Sc.Eng
Главный инженер-программист АСУ ТП

mds

Исправьте в теме доклада ... МАНИПУЛЯОРОВ

Тема запатентована,  теперь можно показать и математику.

ran

Возьмите простейшую систему из двух звеньев (например, поворот "стрелы" вокруг вертикальной оси + движение "схваченного" груза вдоль "стрелы" с постоянным трением) и попробуйте  описать ее диф. уравнениями. И мы, о чудо!, получим-таки матописание.
(Само слово "матописание", конечно, чисто русское и означает описание проблемы с помощью близких нашим людям терминов типа "производная", "интеграл", просто у нас они не всегда буквально так и звучат)

RVL


mds

... В целом механическая система манипулятора описывается системой двух следующих уравнений:
       (1)...

       Здесь первое уравнение- уравнение кинематики манипулятора, выражающее абсолютные координаты его звеньев x через относительные координаты q, а второе- уравнение динамики для  q (q1,q2,…,qn), где Qg (Qg1, Qg2,…,Qgn)- усилия двигателей, действующие по соответствующим координатам звеньев манипулятора q, QB(QB1,QB2,…,QBn)- возмущающие и противодействующие усилия, AM- оператор механической системы манипулятора. Уравнения для  усилий, с которыми манипулятор взаимодействует с объектами внешней среды, будут рассмотрены ниже в конце этого пункта....


Магнитодвижский  тоже  способен  на подобные  казусы.   Но  здесь  что-то  особенное.  Подтвердите  или  опровергните, пожалуйста.

gordienko

Сколько не рассматривал, математического описания так и не увидел.
В целом механическая система манипулятора описывается системой двух следующих уравнений:
       (1)

ran

Механическая система манипулятора - это, конечно, динамическая система. А у Вас нет ни одной производной. Положение, например, жестко зависит от усилий. Такого не бывает: положение изменяется плавно от начального к конечному и описывается дифференциальными уравнениями.

knoppix

Так судя по всему тут только матрицы перехода из одной координатной системы в другую приводятся. А в кинематике и динамике должны быть производные, я сам видел.
Амурский Государственный Университет  - 2010 - Специалист
Harbin Institute of Technology - 2016 - M.Sc.Eng
Главный инженер-программист АСУ ТП

ran

Ура! Производные появились. И не только простые, но и частные.

Вверх