Исполнитель: Власенко Елена Юрьевна, 541 об
Научный руководитель: Штыкин Михаил Дмитриевич
Тема: "ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ.МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТА"
Введение В настоящее время проблема построения адекватных, эффективных моделей, используемых в дальнейшем, в частности, для синтеза системы управления, находит свое решение во многих областях науки и техники.
Различные типы моделей рассматриваемых объектов, систем или процессов используются на стадии создания систем управления этими объектами и на стадии их эксплуатации. Построение математических моделей того или иного типа на основе результатов наблюдений за поведением объектов и исследование их свойств составляет основное содержание науки идентификации.
В качестве моделей объектов могут быть использованы структурные схемы, операторные уравнения, алгебраические, дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные уравнения; Марковские цепи, передаточные функции, частотные характеристики, весовые функции, графы и т.д. Все эти модели функционально связывают входные и выходные сигналы объектов.
Построение математических моделей, в основном, осуществляется двумя способами: аналитическим и на основе экспериментальных данных, а также путем их комбинаций.
Постановка задачи идентификации Задача идентификации сводится, в общем случае, к определению оператора модели, преобразующего входные воздействия объекта в выходные величины.
Переход от этапа построения модели к последующему ее использованию требует оценку качества полученной модели, т.е. проверку адекватности модели объекту. Вследствие того, что абсолютная эквивалентность модели объекту принципиально недостижима, то основным условием подтверждения адекватности модели является возможность использования полученной модели для решения той задачи, ради которой эта модель строилась.
Степень адекватности модели и объекта
Степень адекватности модели и объекта обычно оценивают путем сравнения их выходных сигналов при подаче одинаковых входных воздействий на объект и его модель.
В большинстве реальных ситуаций взаимодействие объекта с окружающей средой соответствует следующей стандартной схеме (рисунок 1).
Рисунок 1 - Взаимодействие объекта с окружающей средой
u(t) - входное воздействие; (t) - неконтролируемое случайное воздействие; y(t) - выходное воздействие объекта; yM (t)- выходное воздействие модели; e(t) - разность (невязка) между выходами объекта и модели; b - вектор параметров объекта; β- вектор параметров модели;
Идентификационный эксперимент в соответствии со структурной схемой наблюдения состоит в следующем.
На входы объекта и модели подается внешнее воздействие u(t). При использовании такой схемы наблюдений полагается, что результаты измерений входного сигнала являются действительным входным сигналом, а все внутренние и внешние возмущения, отклонения измеренных значений от истинных воздействий характеризуются обобщенной помехой η(t).
Поскольку объект связывает вход u(t) с выходом y(t), то эту связь выходной величины с входной формально можно представить некоторым оператором f0 :
(1)
В соответствии с зависимостью выходная величина объекта зависит от внешнего воздействия u(t) , помехи η(t) и от неизвестного вектора параметров
, значения которых непосредственному наблюдению недоступны.
На основании сведений об объекте формируется модель, под которой понимается некоторый оператор f, преобразующий наблюдаемое входное воздействие u(t) в ее реакцию уM (t):
(2)
На основе сравнения, искаженного помехой η(t) выходного сигнала объекта
с выходным сигналом модели
находится невязка - разность выходных величин объекта и модели:
(3)
Критерий качества идентификации, характеризующий адекватность модели реальному объекту, представляет собой средние потери. Чем меньше средние потери, тем выше качество идентификации.
2. Методы оценивания параметров моделей объектов Методы оценивания параметров моделей объектов, в общем случае, можно разделить на три класса подходов в зависимости от способа реализации процедуры оценивания. К первому типу относятся подходы на основе использования явных математических выражений, ко второму - реализации процедур оценивания с использованием настраиваемой модели, к третьему -реализация на основе метода Леви. Проиллюстрируем реализацию этих трех подходов соответствующими схемами.
2.1 Метод оценивания параметров на основе явной математической моделиРисунок 2 - Структурная схема реализации процедуры оценивания разомкнутого типа (на основе явной математической модели)
При реализации методов оценивания первого типа (рисунок 2) математическая модель задается в виде явных математических соотношений, содержащих набор подлежащих определению числовых параметров
.
На объекте проводятся специальные идентификационные эксперименты по сбору массивов входных u(t) и выходных y(t) данных. Далее проводится обработка результатов полученных экспериментальных данных с целью минимизации выбранного функционала идентификации
.
Оптимальные процедуры оценивания параметров β в этом случае сводятся к разрешению следующих соотношений
(4)
Совокупность зависимостей отвечает системе из m +1 уравнений с m +1 искомыми оценками β = [β0 ,......, βm ], которая разрешается относительно β . Оценивание параметров в этом случае осуществляется при помощи ретроспективных алгоритмов идентификации, когда решение получается в результате обработки всего массива данных путем выполнения конечного числа элементарных операций и не может быть получено как результат промежуточных вычислений.
2.2 Метод оценивания параметров на основе настраиваемой модели Структурная схема реализации процедуры оценивания на основе настраиваемой модели приведена на рисунке 3.
Рисунок 3 - Структурная схема реализации процедуры оценивания замкнутого типа
F - функциональный преобразователь; УН - устройство настройки
В данном случае используется принцип подстройки модели к объекту по признакам близости поведения. В этом случае моделируется структура математических соотношений, параметры β которой изменяются таким образом, чтобы характеристики модели были близки к характеристикам исследуемой системы. При таком подходе полагают организацию выполнения соотношений:
(5)
Невязка
поступает на вход функционального преобразователя F, где осуществляются измерения производных
. Устройство настройки УН изменяет параметры настраиваемой модели β на основе алгоритмов идентификации, минимизируя тем самым функцию ошибок путем выполнения соотношения (5). Решение получается, в принципе, как результат бесконечного числа таких операций, при этом каждый промежуточный результат представляет приближенное решение.
Основным признаком, указывающим на применение методов идентификации с настраиваемой моделью, следует считать наличие обратной связи.
2.3. Параметрическая идентификации объекта по методу Леви
Объектом исследования, параметрическое представление которого требуется получить, является реальная система, изначально представляемая «черным ящиком». На вход системы подавался тестовый сигнал, полученный от специального формирователя. Соответственно методу, регистрируется выходной сигнал системы. Используя взаимокорреляционный метод нахождения весовой функции системы можно найти ядра Винера 0-го и 1-го порядка.
Построение «внутренней» модели динамической системы, например, в пространстве состояний по результатам белошумовой идентификации, разработка и исследование этих систем с применением математического моделирования предполагает решение задач, связанных с их параметрическим представлением.
Здесь рассматривается практическая реализация метода решения задачи параметрического представления системы, получившим название «приближенного метода Леви».
Известно, что ядро Винера 1-го порядка исследуемой системы является, ее весовой функцией. Проводя параметрическую идентификацию с использованием метода Леви, можно найти адекватную математическую модель, дающую внешнее описание объекта.
Рассмотрим пример решения с использованием данного метода подробнее.
Метод Леви направлен на поиск наилучшей, в смысле минимума среднеквадратического отклонения, функции, описывающей амплитудно-частотную характеристику рассматриваемого объекта. Известно, что АЧХ системы - это ни что иное, как преобразование Фурье ее импульсно-переходной (весовой) функции.
Так, используя прямое преобразование Фурье, можно перейти от представления системы во временной области к ее представлению в частной области, т.е. найти частотную характеристику:
(6)
или воспользоваться известной формулой Эйлера:
(7)
где W=2·π·f - круговая частота [рад/сек], f-частота [Гц].
Найденная частотная характеристика H1(jw) практически всегда может быть аппроксимирована (представлена) дробно-рациональным выражением вида:
(8)
где bk, aq-параметры системы
m≤n-условие физически реализуемой системы.
Если предварительно задать степени m и n полиномов в выражении (8), то непосредственное при использовании метода Леви для определения искомых параметров систем bk и aq приходим к системе линейных алгебраических уравнений.
где:
Rj- Косинус трансформанта Фурье импульсной характеристики (ядра Винера первого порядка);
Ij- синус трансформанта Фурье импульсной характеристики;
Wj- круговая частота [рад/сек].
Решением этой системы уравнений будут являться некоторые параметры bk, aq при заданных m и n.
Недостатком метода Леви является необходимость итерационного подбора степеней m и n (m≤n) полиномов выражения (8) с последующим решением системы уравнений численным методом с тем, чтобы найти соответствующие параметры bk, aq.
В то же время методу присуща достаточно простая программная (алгоритмическая) реализация.
При подстановке найденных параметров bk и aq в выражение (8) имеем математическую модель - внутреннее описание исследуемого объекта.
Выражение (8) соответствует представлению линейной динамической системы обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:
(9)
Данное уравнение (9) легко приводится к уравнению состояния системы:
(10)
где A, B и C-матрицы соответствующих разностей.
Рассмотренная процедура перехода от внешнего описания системы к ее представлению в пространстве состояний является одним из примеров решения классической задачи реализации.
Для данных, полученных в результате белошумовой идентификации реальной системы, приведем численные значения коэффициентов ai и bi дробно-рационального представления ядер Винера первого порядка при различных значениях степеней m и n полиномов (8). Отметим, что линейная часть большинства реальных промышленных объектов хорошо описывается апериопическим звеном второго порядка:
Тогда уравнение в пространстве состояний для исследуемой системы запишется в форме:
(11)
(12)
Таблица 1 - Результаты метода Леви
Вывод Сравнивая методы оценивания, можно сделать вывод:
1. Реализация процедуры оценивания разомкнутого типа (на основе явной математической модели), с инженерной точки зрения, относится к методам идентификации вне контура регулирования и не позволяет обрабатывать поступающие наблюдения последовательно, в режиме нормальной эксплуатации.
2. Метод оценивания параметров на основе настраиваемой модели относится к методам идентификации в замкнутом контуре и позволяет проводить оперативную идентификацию в режиме нормального функционирования объекта.
3. Оценивание параметров линейного объекта по методу Леви является наиболее простым, но при этом получается невысокая адекватность.
Следует отметить, что с появлением цифровых вычислительных устройств стало удобнее реализовывать используемые функции (вычисление критерия, автоматическая настройка, др.) алгоритмически, что приводит к стиранию четких границ между различными способами идентификации.
Литература 1. С. Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. - М.: Машиностроение,1972. - 552с.
2. Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учеб.: рек. Мин. обр. РФ / В. Я. Ротач. - 4-е изд., стер. - М. : Изд-во
Моск. энергет. ин-та, 2007. - 400 с.
3. Музыкин С.Н., Родионова Ю.М. Моделирование нелинейных систем с использованием белошумовой идентификации. -
ОАО «Можайский полиграфический комбинат», 1999. - 200 с.
