Афанасов Л.С. Робастные системы управления

[Leonid]

Тема доклада: Робастные системы управления
Исполнитель: студент гр. 441-об, Афанасов Леонид Сергеевич

ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ СИСТЕМ

     Традиционные методы синтеза систем управления используют модели регулятора и объекта при условии неизменности их параметров. Однако параметры все время оставаться постоянными не могут, в модели невозможно учесть все динамические свойства реальной системы, в системе может иметь место запаздывание и изменение рабочей точки, внешние возмущения могут быть непредсказуемыми и, наконец, датчик может иметь шум. Все это требует создания системы, обладающей допустимыми изменениями качества при изменении или неточности ее модели. Такие системы называются робастными (от англ. Robust - крепкий, грубый).
     Робастная система управления обладает требуемым качеством несмотря на наличие потенциальных неопределенностей и с неизвестной или неполной моделью объекта управления.
     Задачей синтеза робастных систем управления является поиск закона управления, который сохранял бы входные переменные системы и сигналы ошибки в заданных допустимых пределах несмотря на наличие неопределенностей в контуре управления.
   

     Рисунок 1 - Структурная схема замкнутой системы управления

   Структурная схема, приведенная на рис.1, учитывает шум датчика N(p), непредсказуемое возмущение D(p) и объект управления W_ОУ(p) с неучтенной динамикой или параметрами, подверженными возмущению. Все эти факторы могут быть весьма значительными, поэтому проблема заключается в том, чтобы система сохраняла желаемое качество. Говорят, что система является робастной, если она обладает достаточной надежностью, грубостью и гибкостью.
     Предшествующий фильтр обычно используется в системах с ПИ - регуляторами для компенсации нуля передаточной функции замкнутой системы, который может оказывать существенное влияние на переходную характеристику.
     Рассмотрим систему, в которой ОУ имеет передаточную функцию
   
   В качестве корректирующего устройства выберем ПИД - регулятор с передаточной функцией
   
   Целью синтеза является выбор таких параметров (настроек) регулятора, которые удовлетворяли бы требованиям к качеству системы и обеспечивали ее робастность. Настройки регулятора можно подобрать методом итераций, а робастность системы проверим путем имитационного моделирования.
   Проведем анализ при номинальном значении параметра с₀ = 1 и передаточной функции предшествующего фильтра W_f(p) = 1.
     Требования к качеству системы:
     1. Время установления (по критерию 2%) t_y ≤ 0,5 с.
     2. При ступенчатом входном сигнале оценка качества ИВМО должна быть минимальной.
     Оценка ИВМО определяется как интеграл от взвешенного модуля ошибки и позволяет уменьшить вклад большой начальной ошибки в интеграл модуля ошибки (ИМО):
   
   Найдем ПФ разомкнутой и замкнутой систем при единичной ОС:
   
   Оптимальные значения коэффициентов характеристического полинома, обеспечивающие минимум оценки ИВМО, найдем с помощью полинома
   
   Параметр ω_n надо выбрать, исходя из времени установления. Так как  t_y=4/(ξ*ω_n), а ξ неизвестно, но близко к 0,8, то выберем ω_n = 10. Приравнивая коэффициенты действительного и эталонного полиномов, найдем значения коэффициентов регулятора:
     K₁ = 214; K₃ = 15,5; K₂ = 1000.
     Тогда ПФ замкнутой системы принимает вид:
   
   Найдем переходную характеристику замкнутой системы:
   

Код [Выделить]

K3 = 15.5; K1 = 214; K2 = 1000; c0 = 1;
Wo = tf(1, [1 2*c0 c0^2]);
Wc = tf([K3 K1 K2], [1 0]);
W = series(Wo,Wc);
T1 = feedback(W,1)
step(T1),grid
    

     Рисунок 2 - ПХ замкнутой системы без предварительного фильтра

   Реакция такой системы на единичный скачок имеет перерегулирование, равное 33,9 %.
     Выберем предшествующий фильтр W_f(p) для получения желаемой реакции. Для этого ПФ замкнутой системы должна иметь вид:
   
   Следовательно, чтобы скомпенсировать в T₁(p) нули и обеспечить в числителе коэффициенты 1000, нужно иметь
   
   Получим показатели качества системы с предшествующим фильтром:

   В результате синтеза ПИД - регулятора получены приемлемые показатели качества автоматической системы регулирования температуры.
     Проверим систему на робастность. Пусть значение коэффициента затухания с₀ увеличилось до пяти: с₀ = 5. Найдем ПФ замкнутой системы без фильтра:
   
   Приравнивая коэффициенты действительного и эталонного полиномов, найдем значения коэффициентов регулятора:
   
   K₁ = 190; K₃ = 7,5; K₂ = 1000.
     Тогда ПФ замкнутой системы принимает вид:
   
   Оставим тот же предшествующий фильтр W_f(p). Тогда
   
   Построим ПХ системы:
   

Код [Выделить]

%ПФ фильтра
Wf = tf(64.5, [1 13.8 64.5])
%Коэффициент затухания с0 = 1
K3 = 15.5; K1 = 214; K2 = 1000; c0 = 1;
Wo = tf(1, [1 2*c0 c0^2]);
Wc = tf([K3 K1 K2], [1 0]);
W = series(Wo,Wc)
T1 = feedback(W,1)*Wf
%Коэффициент затухания с0 = 5
K3 = 7.5; K1 = 190; K2 = 1000; c0 = 5;
Wo_1 = tf(1, [1 2*c0 c0^2]);
Wc_1 = tf([K3 K1 K2], [1 0]);
W_1 = series(Wo_1,Wc_1)
T2 = feedback(W_1,1)*Wf
step(T1,T2),grid

   Таким образом, значительное увеличение коэффициента затухания объекта практически не повлияло на показатели качества с ООС.

   

ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ СИСТЕМ В ПРОГРАММЕ MATLAB

    Матобеспечение Robust Control Toolbox позволяет создавать модели систем, коэффициент передачи которых или другие параметры точно неизвестны или могут изменяться в большом диапазоне. Примеры реальных параметрических неопределенностей включают неопределенное распределение нулей и полюсов или неопределенности значений коэффициентов усиления.
     Robust Control Toolbox создавать неопределенные элементы (физические параметры которых, например, точно неизвестны) и комбинировать эти элементы в неопределенные модели. После этого можно анализировать влияние неопределеннностей на показатели систем управления.
     Пример 1. Рассмотрим модель объекта управления в виде ПФ
   
    где γ (gamma) может изменяться в интервале [3,5] и τ (tau) имеет среднее значение 0,5 с 30% изменением. Создадим неопределенную модель объекта с помощью следующего кода:

Код [Выделить]

gamma=ureal('gamma',4,'range',[3 5]);
tau=ureal('tau',1,'Percentage',30);
disp('Неопределенная ПФ объекта и вывод данных')
P=tf(gamma,[1 tau 1])

>> USS: 2 States, 1 Output, 1 Input, Continuous System
   gamma: real, nominal = 4, range = [3  5], 1 occurrence          
   tau: real, nominal = 1, variability = [-30  30]%, 1 occurrence

     Команда ureal создает  неопределенный (uncertain) действительный (real) параметр, который используется для представления числа, значение которого точно не определено. Этот параметр имеет имя (the Name property) и номинальную величину (Nominal Value property).  
     Для описания неопределенности (потенциального отклонение от номинала) эквивалентно используются три эквивалентных способа:
       • PlusMinus: аддитивное (в виде суммирования) отклонение от Nom-inal Value
       • Range: интервал, содержащий  Nominal Value
       • Percentage: процентное отклонение от Nominal Value
     Теперь спроектируем интегральный регулятор C(s) для номинального объекта (γ_n = 4 и τ_n = 0,5):
   
    Для того, чтобы выявить, как вариации параметров γ и τ влияют на переходные характеристики объекта и замкнутой системы, сформируем ПФ замкнутой системы из ПФ регулятора и объекта:
   

Код [Выделить]

KI=1/(2.5*tau.Nominal*gamma.Nominal)
C=tf(KI,[1 0])
T=feedback(P*C,1)

>> KI = 0.1000
   Transfer function:
   0.1
   ---
    s

     Теперь можно сгенерировать несколько выборок (в данном примере 10) неопределенных параметров γ и τ и построить соответствующие переходные характеристики замкнутой системы (рис.3) и объекта (рис.4). Для сравнения построим также ПХ для замкнутой системы и объекта с номинальными данными (NominalValue).

Код [Выделить]

figure(1)
step(T.NominalValue,'r.',usample(T,10),'b',30),grid
title('ПХ замкнутых систем')
legend('Номинальная СУ','Неопределенная СУ')
figure(2)
step(P.NominalValue,'r.',usample(P,10),'b'),grid
title('ПХ объектов')
legend('Номинальный ОУ','Неопределенный ОУ')


Рисунок 3 - Переходные характеристики замкнутых систем



Рисунок 4 - Переходные характеристики объектов

    ПХ рис.1 показывают, что выбранный регулятор является робастным в разумных пределах , несмотря на значительные флуктуации коэффицинта передачи объекта управления.
     Пример 2. Двигатель постоянного тока из учебного пособия по МОУ. Приведем только программу с необходимыми комментариями внутри нее.
   

Код [Выделить]

%ДПТ независимого возбуждения
%Неопределенные параметров
R=ureal('R',15,'Percentage',40);
L=ureal('L',0.1,'Percentage',40);
K=ureal('K',2.45,'Range',[2 5]);
Km=K;Kb=K;
Kf=ureal('Kf',0.2,'Percentage',50);
J=ureal('J',0.018,'Percentage',20);
%Матрицы SS модели:неопределенные A и B
%известные С и D
A=[1/L 0;0 1/J]*[-R -Kb;Km -Kf];
B=[1/L;0];C=[0 1];D=0;
%P=ss(A,B,C,D,'StateName',{'Voltage';'Speed'})
%Неопределенная SS модель ДПТ
P=ss(A,B,C,D)
clf
figure(1)
step(P.NominalValue,'r.',usample(P,10),'b',0.15),grid
title('ПХ объектов')
legend('Номинальный ОУ','Неопределенный ОУ')
%Номинальный контроллер
cont=tf(100*[0.5 1],[0.8 1 0])
%Запасы устойчивости номинального объекта
figure(2)
margin(P.NominalValue*cont),grid
%[SM,DM,MM]=loopmargin(P.NominalValue*cont )
%ПХ замкнутой системы
T=feedback(P*cont,1)
figure(3)
step(T.NominalValue,'r.',usample(T,10),'b',0.5),grid
title('ПХ замкнутых систем')
legend('Номинальная СУ','Неопределенная СУ')

    

Рисунок 5 - Переходные характеристики ДПТ



Рисунок 6 - Диаграммы Боде номинального ДПТ


Рисунок 7 - ПХ замкнутых номинальной и неопределенной систем

    Пример 2 также свидетельствует о том, что выбранный регулятор является робастным в разумных пределах, несмотря на значительные отклонения всех параметров ДПТ от номинальных значений.

[knoppix]

1) Хотелось бы увидеть как ведет себя система при изменение коэффициента затухания без фильтра.
2) Вы рассматриваете только изменение одного параметра в системе, почему именно его?

P.S. ИВМО как расшифровывается, это конечно придирка к оформлению, но ИМО вы расшифровали.

[Leonid]

1) Хотелось бы увидеть как ведет себя система при изменение коэффициента затухания без фильтра.
2) Вы рассматриваете только изменение одного параметра в системе, почему именно его?

P.S. ИВМО как расшифровывается, это конечно придирка к оформлению, но ИМО вы расшифровали.

1.

Вот собственно ПХ замкнутой системы без фильтра при изменении коэффициента затухания

2. Материал был не до конца залит

[knoppix]

0. Выводы?
1. А насколько ваш робастный регулятор будет лучше классического ПИД?
2. Пределы устойчивости полученного регулятора, либо до каких пределов параметрических неопределенностей объекта регулятор будет давать желаемый результат?

[ran]

0. Выводы?
1. А насколько ваш робастный регулятор будет лучше классического ПИД?
2. Пределы устойчивости полученного регулятора, либо до каких пределов параметрических неопределенностей объекта регулятор будет давать желаемый результат?

Как я понял, и рассматривается классический регулятор. Доказывается, что он, мало того, что классический, так еще и робастный.

[knoppix]

0. Выводы?
1. А насколько ваш робастный регулятор будет лучше классического ПИД?
2. Пределы устойчивости полученного регулятора, либо до каких пределов параметрических неопределенностей объекта регулятор будет давать желаемый результат?

Как я понял, и рассматривается классический регулятор. Доказывается, что он, мало того, что классический, так еще и робастный.

Тогда можно посчитать любой регулятор, изменить параметры модели и сказать, смотрите, а наш то регулятор - робастный.
Если честно не очень понятен переход первой части работы (с фильтром и ПИД и только с ПИД) ко второй части. Во второй части средствами Matlab создается объект с некоторой неопределенностью и для нее считается И-регулятор, а потом проверяется качество его работы в диапазоне изменений параметров объекта (для двигателя вроде опять ПИД). То есть то что регулятор робастный это не результат синтеза, а результат везения?

[ran]

Это результат "мудрого предвидения".